Penrose Döşemelerini Sebepsiz Sevmek

Çakmağı evde unuttum diye sigarayı bırakarak nedensellikte zirve yaptığım hayatımın şu döneminde bir şeye başlamak için illa bir nedene ihtiyacım olmadığını, çok lazımsa da herhangi birşeyi neden gösterebileceğimi farketmenin keyfini yaşıyorum bu aralar. Mesela sigarayı mı bıraktım, o halde blog yazayım diyorum ve yazıyorum. Ne alaka? Yok tabi alakası falan. Hayat yüzünden sadece. Yaptığın planları, dayandığın sebepleri önemsemeyip herhalde hiç bir zaman anlayamayacağım kendi önceliklerini sürekli bize dayatan şu bizim hayat yüzünden işte, bildin mi? O yüzden artık diyorum ki, sebep mi lazım, seç birini. Sen yeter ki o aklına geleni yap, sebebi gelir arkasından.

Şimdi de mesela Penrose döşemelerinden (Penrose Tiles) bahsetmek istiyorum. E sebep? Çünkü bugün Pazar. Oldu mu? Cuk bile oturdu bence.

Roger Penrose'un adını ilk defa Stephen Hawking'in efsane kitabı Zamanın Kısa Tarihi'nde duymuştum. Dahi bir bilimadamıydı ve Hawking'le birlikte tekillik (karadelikler) üzerine çalışmalarda bulunmuştu. Sonra alakasız bir şekilde internette bu döşemelerde ismi karşıma çıkınca araştırmaya başladım ve Penrose döşemeleriyle uğraşırken buldum kendimi.

Önce uzun uzun işin teknik kısmını anlatan bir girizgah yapmıştım fakat tekrar okuyunca baktım olacak gibi değil, iyisi mi ben kısa yoldan bunun neyle ilgili olduğunu anlatayım, siz de gerisini okuyup okumamaya böylece erkenden karar verebilin.

Kısaca; periyodik olmayan döşeme çeşitleri ve onları oluşturabileceğimiz karo setleri çeşitli nedenlerle bilimi epey bir meşgul etmiştir ve Penrose karoları da bu soruya iki karoyla cevap veren dahası, olmadığı düşünülen beşli simetrinin var olabileceğini kanıtlamış olan şekil setine verilen isimdir. 3 türü vardır, en bilineni aşağıdaki gibi gözükür. (Daha kısa ve anlaşılır olamadı, üzgünüm)

Şekilden de görüleceği üzere, bu döşeme 2 farklı karo ile oluşturulmuş ve biraz dikkatli bakınca anlaşılacağı üzere periyodik olmayan bir yapıya sahip.

Peki "periyodik olmayan döşeme ne demektir ve neden bu kadar önemli ki, altı üstü bir şekil değil mi" gibi ipe sapa gelmez sorular sormaya başlayınca işin teknik ve can sıkıcı kısmına girme vakti gelmiş demektir.

Periyodik döşeme hepimizin malumu, bal peteği gibi birbirini tekrarlayan şekillere deniyor. İşin teknik tanımına bakarsak biraz daha can sıkıcı ama yazının ilerleyen kısmında önemli olacağından bahsetmek gerekiyor. Şuradaki tanıma göre bir döşemenin seçeceğimiz bir parçasında döndürmemek şartıyla bir eksende yapacağımız kaydırma işlemi sonrasında elde edeceğimiz şekil orjinali ile bire bir örtüşüyorsa bu işleme translation deniyor. Bir döşemenin periyodik olma şartı ise paralel olmayan iki translation işlemi yapılabilmesidir. Buna göre mesela aşağıdaki örneklerden ilki periyodik iken, ikincisi sadece tek eksende translation yapılabildiği için periyodik değildir.

Periyodik ve Periyodik olmayan iki döşeme

İyi de kardeşim sadede gel, ne işe yarayacak bu bilgiler başlıklı bölüme gelecek olursak; iş, periyodik olmayan döşemelerin en az sayıda elemanla nasıl yapılabileceği kısmında ilginçleşiyor. Penrose kendi setinde altın orandan da yararlanarak bu işi 2 karoyla bitirmiş. Aşağıda Roger Penrose abimiz yarattığı karolarla döşenmiş bir zemin üzerinde görülüyor. Gurur tablosu resmen.

Periyodik olmayan karo setlerinin bulunması geometride olmadığı düşünülen beşli simetri denen sorunsalı çözmekle kalmamış, malzeme biliminde ve kristalografide yeni bir çığır açmıştır falan filan ama açıkçası benim esas ilgimi çeken kısmı mümkün olan en az sayıda şekille periyodik olmayan bir döşeme yaratma fikri.

Penrose'un 2 farklı karoyla hallettiği aperiyodik döşeme oyununun altın kasesi döşemeyi tek bir şekil kullanarak yapabilmek. Anladığım kadarıyla şimdiye kadar bunu yapabilecek bir karo icat edebilen olmamış. Her ne kadar 1996'da Petra Gummelt tek bir parça 10gen ile bunun mümkün olabileceğini göstermişse de, bunun olabilmesi için döşeme deseninde aşağıda görüldüğü üzere üst üste binmeler yapılmasına izin verilmesi gerekiyormuş ki bu kural döşemenin "boşluk kalmayacak ve üst üste binmeyecek" şeklindeki tanımına ters düştüğü için kendisini kaale almıyoruz.

Penrose karoları tasarlarken altın oran'dan (φ) faydalanmış. Altın Oran burada da karşımıza çıkmasa şaşardım. Zaten yakın zamanda bir de altın oran yazısı farz oldu. Neyse biz de bunu duyunca aldık tabi hemen bilgisayarı, başladık oyuna. Durur mu procrastination çocuğu. Sonuçta aşağıdaki altın oran şaheseri çıktı ortaya.

Uzunlukları ardışık olan kenarları arasında hep altın oran bulunan bu şekle altın yamuk adını verdim (Aslında ölçüler epey küsüratlı fakat 2 dijit gösterildiği için yukarıya 1,62 gibi yuvarlanarak gösterilmiş durumda). Altın yamuk tabiri zaten başka bir yamuk çeşidi için kullanılıyorsa kusura bakmasınlar, bence yamuğun bunun kadar altını daha Dünya'ya gelmemiştir. Zira kenar uzunluklarını bu şekilde verip birleştirdikten sonra iç açıların kendiliğinden 36° derecenin katları olduğunu gördüm ve inceden bir eşhedüü demedim dersem yalan olur. Az önce de acaba bu 36°'nin altın oranla bir ilgisi var mı ki acep diye bakınca da 2*cos(72)=1/φ olduğunu görmeyeyim mi, sen aklıma mukayyet ol altın oran dememe kalmadan bir şimşek, bir fırtına kop, zor geldim kendime. Neyse fazla cıvımadan konuya dönelim.

Daha sonra bu şekli kullanarak döşeme yapmaya başladığımda gördüm ki tek karoyla döşeme yapmak hiç de Penrose'un 2 karoyla yaptığı döşemelere benzemiyor. Başta gayet iyi giderken şekil giderek monoton bir döngüye girmeye başlıyor. Bunlara 2 örnek aşağıda görüleblilir.

Bu döşemelerde karonun 36° ve 72°'lik köşeleri merkeze konarak sırayla 10'lu ve 5'li simetri şeklinde boşluklar doldurularak devam edilmiştir. şekillere bakınca anlaşılacağı üzere eğer bu döşemeyi yeterince büyütür ve merkezden yeteri kadar uzaklaşırsak karşımıza çıkacak şekil aşağıdaki döşemenin farklı açılarda döndürülmüş hali olacaktır.

Çok tekdüze gözüküyor değil mi? İşin sadece bu kısmına bakarsak öyle gözüküyor fakat farklı açılarda büyüyen düzlemlerin kesişme noktalarına bakarsak şu gözüküyor:

Daire ile işaretli kısımlar bahsettiğim farklı düzlemlerdeki kesişim noktaları. Altın oran yüzünden bu kesişim her seferinde farklı bir noktada oluyor ve yine altın oran yüzünden iki farklı düzlemdeki noktalar çok çok ilerilerde bir yerde muhtemelen altın oranın okek i ile ilgili bir noktada birleşecekler ve başlangıç şeklimiz tekrar ortaya çıkacak. İşin güzel tarafı bir üstteki monoton şekle baktığınızda hayal etmenizin zor olduğu başlangıç şeklinin ileride bir yerde bu monotonluğun arasında tekrar oluşabilecek olması çok hoş bence. İşin tuhaf tarafı bu bana hayatla ilgili de bir sürü çağrışımda bulunuyor ki o ayrı bir yazı konusu bile olabilir.

Sonuçta her ne kadar Penrose döşemeleri kadar güzel bir döşeme şekli ortaya çıkarmasa da bu oluşan döşeme sanıyorum aperiyodik sınıfına giriyordur, bu durumda problem çözüldü diyebilir miyiz? Bilemedim, karar sizin.

F Klavyeyi Dvorak'tan Öğrenmek

Akıllı bir telefonun olunca habire yeni programlar indirip kurmadan, onları kurcalamadan durulmuyor malum. Bu aralar en çok indirdiğim telefon programları, klavye, telefon rehberi gibi telefonun en çok kullanılan kısımlarına hız kazandıran programlar. Tavsiye ederim çok işe yarıyorlar. Telefon kullanımını hızlandıran özelliklerle sana zaman kazandırdıkları için de bence uğraşmaya en değer şeyler bu programlar. Boş zamanları geçirmek içinse, bilmem kaç bin tane enteresan gerçek (Cool Facts) tarzındaki programları deniyorum. Açıyorsun sıkılınca, hapşırığının ağızdan kaç km hızla çıktığından, Madagaskar'ın dünyada kaçıncı büyük ada olduğuna kadar bir sürü faydasız ve çoğu üfürme binlerce bilgiyi okuyup aydınlanıyorsun. Deminki örnekleri verebilmek için 10 dakika düşününce fark ettim ki akılda da kalmıyor meretler.

Neyse konuya dönecek olursak, yine bugün oturmuş enteresan gerçeklerimle aydınlanırken, "Dvorak klavye düzeni QWERTY'den 20 kat daha hızlıdır" yazan bir madde gördüm.

Muhtemelen hiçbir sağlam veriye dayanmayan bu üfürme enteresan gerçek, araştımacı ve procrastination delisi bünyemde hemen reaksiyona girdi. Telefonda bile günlük işlemleri hızlandıracak programları deli gibi indirip kullanırken, en çok yaptığımız işlerden olan bilgisayarda yazı yazmayı hızlandıracak birşey söz konusuysa, hemen işe girişilmeli ve denenmeliydi! 10 dakika sonra kendimi Wikipedia'dan Dvorak klavye düzeninin ne olduğunu okumuş, Windows'ta klavye ayarlarından Dvorak klavyeyi eklemiş ve bulduğum bir web sitesinde Dvorak klavyeyi öğrenmek için alıştırma yaparken buldum.

Yaklaşık 20 dakika çalışmış ve gayet iyi gittiğini düşünürken sonradan gelen Türk aklım birden dank etti (tuvalette olsa muhtemelen daha önce ederdi). Haydi öğrendik ve İngilizce metinleri deli gibi yazmaya başladık bu klavye düzeninde diyelim, iyi de Türkçe metinlerde ne olacaktı? O kadar didinip öğrendikten sonra Türkçe metinleri yazmak için yine Q klavyeyi mi kullanacaktım? 1936 yılnda bir Amerikalı tarafından oluşturulan bir klavye düzeni olduğundan doğal olarak Dvorak'ta herhangi bir Türkçe karakter yoktu  ve bu da onunla Türkçe metinleri yazmak hayal demekti. Türkçe karakter içermesi için oturup kendin birşeyler yapıp eklemeliydin ama o durumda bile nasıl eklenir, ekleyebilsen bile hangi harfi nereye koysak daha verimli olur gibi sorular çıkıyordu ortaya. Sonuçta konu hızlı yazmaksa, altında epey kapsamlı bir istatistik çalışması ve hangi harfi nereye koysak parmaklar daha az hareket eder ve hem daha az yorularak hem de daha hızlı yazar gibi ucu anatomiye varan bir sürü parametre devreye girecekti. Ne güzel, daha hızlı yazmak için yeni bir klavye düzenini öğrenmek yeterince zor bir iş değilmiş gibi, şimdi bir de o klavyeyi Türkçe'yi de içerecek şekilde yeniden düzenlemek gibi bir bebeğim daha olmak üzereydi ki bu beni neredeyse aştı, aşacaktı.

Wikipedia'da Dvorak'ın İşveç, Norveç dillerine uygun versiyonlarının da bulunduğunu okuduğumda yahu bunun Türkçe için yapılmış bir versiyonu da illa ki vardır diye içimden geçirirken okuduğum paragraf birden o ilahi aydınlanma anlarından birini yaşamama sebep oldu.

"The Turkish F keyboard layout is also an original design with Dvorak's design principles, however it's not clear if it is inspired by Dvorak or not. Turkish F keyboard was standardized in 1955 and the layout has been a requirement for imported typewriters since 1963."

Evet, birebir Dvorak ile aynı olmasa da ona benzer bir mantıkla oluşturulmuş bir Türkçe klavye düzeni vardı. Adı da hiç yabancı değildi üstelik; F Klavye!

Yıllardır eski daktilolarda ya da bilgisayarlarda göre göre kafamda her nasılsa "köhne" bir imaja sahip olan F Klavyenin aslında ne demek olduğunu ve niye öğrenmek gerektiğini cool factsten okuduğum Dvorak maddesi sayesinde böylece keşfetmiş oluyordum.

Biraz daha okuyunca 1957-1995 yılları arasında Türkiye'nin F klavye ile uluslararası yazı yarışmalarında 14 dünya rekoru kırdığını, Fransızların ilk yarışmada, "Türkler yarışmaya özel klavyeyle geldi, kabul edilemez" itirazını, komitenin 6 saatlik tartışmaların ardından "Siz de kendi klavyenizi getirin kardeşim" diyerek reddettiği gibi bu sefer gerçekten enteresan (!) bilgilere ulaştım.

Şuradaki forumda da konuyla ilgili bir şeyler okuyunca artık olay netti benim için. Her ne kadar çoktan bugünlük savsaklama dozumu yeterince almış ve oturup çalışmaya motivasyonum kalmamış olsa da bir sonraki procrastination maceram hazırdı, F Klavye öğrenmek!

Collatz Problemi üzerine Beyhude Yaklaşımlar

Collatz Problemi matematikte çözülmeyi bekleyen gizemli problemlerden biri. Açıklaması oldukça basit. Herhangi bir sayı alalım. Bu sayı çift sayıysa 2’ye bölelim, tek sayı ise 3’le çarpıp 1 ekleyelim. Bulduğumuz yeni sayıya da aynı işlemi uygulayalım. Bu adımları belirsiz bir sayıda tekrarlarsak mutlaka ama mutlaka 1’e ulaşırız. Sorun, bu önermenin doğru olup olmadığı. Bilindiği kadarıyla henüz bu soruya kesin bir yanıt verilememiş. Biraz daha detaylı anlatımı şurada bulabilirsiniz.

Soru matematikçi olmayan herkesin kafa yorabileceği basitlikte ve amelelik kısmı bilgisayarlara kolayca yıkılabilecek yapıda olduğu için hemen kurcalama dürtüleri harekete geçti. Önce excel’de istenilen aralıklarda hangi sayının kaç adımda çözüldüğünü hesaplayan ufak bir makro yazdım (Buraya tıklayarak dosyayı indirebilirsiniz. Makro kısayolu Ctrl+Shift+A. Makro güvenlik ayarınız yüksekse sorun çıkarabilir. Çözümü için Excel versiyonunuzla birlikte google’da aratabilirsiniz. “Excel 2007 makro güvenlik” gibi. Ya da boşverin kim uğraşır.) Bu makroyla ilk 32.000 adımı hesaplatıp bir dağılım grafiği haline getirdim. (Excel 2007 en fazla 32.000 nokta için dağılım grafiği yapabiliyor) Sonuç şöyle bir şey çıktı:



Hemen olayı mistik bir tarafa çekmek çok doğru değil ama özellikle grafiğin sol tarafının şuna benzemesi ilginç bir tesadüf oldu:



(Gelmişken biraz da altın oran’a takılayım derseniz ve fotonun üzerine tıklayıp ayçiçeğinin tohumlarının mükemmel dizilişini tutturabilmek için tohumların dönüş oranını bulmaya çalışabilecek kadar sapıkça dürtüler içindeyseniz web sitesinde biraz oyalanabilirsiniz.)

İşin mistik boyutu bir tarafa, grafikte görülen pik değerler (27 sayısının 112 çözümü olması gibi komşularından aşırı yüksek değerler) belki de bu işin bir çözümü olabileceği hissini doğurdu. Eğer pik noktalar aşağıda mavi ile gösterildiği şekilde bir eğri oluşturuyorsa ve bu eğrinin belli bir eğimle devam ettiği gösterilebilirse belki de cevap bulunabilirdi. Eğer eğrinin eğimi yatay eksene paralele doğru gidiyorsa, bir noktadan sonra çözüm adedinin bir üst limiti olacağına ve o limitten fazla sayıda çözüm olamayacağına hükmedilebilirdi ya da eğri hiçbir zaman yataya paralel bir duruma ulaşmıyorsa çözümlerin sonsuza doğru gideceğine. Böylece her iki durumda da soruya bir cevap verilmiş olurdu.


Bunu doğrulamak içinse daha fazla veriye ve bu verilerle grafik oluşturabilmeye ihtiyacım vardı. Excel çok zorlanmadan 1 milyon hesaplamayı yapabiliyordu ama iş grafiğe gelince 32.000’den sonra kan kusturuyordu. Bu nedenle şuradaki yorumlarda aldığım gazla Python öğrenmeye çabaladım ve şu basit programı yazıp şu 100.000 lik grafiği çizdirdim (Program mathplotlib gerektirir, yani sanırım):



Gazı çok fena almış olmalıyım ki 100 milyonların grafiğini çizmeyi beklerken bilgisayarın 1 milyonu bile kaldıramaması, Python’un kösülüp kalması biraz hayal kırıklığı oldu. Muhtemelen el yordamıyla karanlıkta yol bulmaya çalışırmış gibi yazdığım programın acemiliği yüzünden olmuştu ama olsundu, 2-3 günde böyle bir şey yazabilecek kadar Python öğrenmek de bir şeydi (Yoksa değil miydi?)
En sonunda kafayı iyice kırıp, pik değerleri Excel’in ulaşabileceği en yüksek sayılarda 1000’lik aralıklarla el yordamıyla aramaya karar verdim. Meğersem excel’in ulaşabileceği en büyük sayı boru değilmiş. Söz konusu sayı 10^300 ler civarında olduğundan, 1000 rakam uzunluğunda bir değnekle pik sayıda çözümü olan sayıları aramak, samalıkta iğne aramak demekmiş. En nihayetinde uzun uğraşlar sonucunda çözüm adedi 2000’in üzerine çıkan rakamlara ancak ulaşabildim. Ancak sanırım işlemcim yanmak üzere olduğundan (Bilgisayarınki değil) dosyayı kaydetmeyi unutmuş olmam anlayışla karşılanabilir diye düşünüyorum. Yine de denemek isteyen fetişistler olursa devasa boyuttaki Excel dosyası şurada. (İndirmeye niyetlendiyseniz önce dosya uzantısını rar yapıp unziplemek gibi bir garipliğe katlanmanız gerekiyor. Zira 30 mb falan kendileri. Baş edemedim mahlukatla.)
Evet ve sonunda pes ettim. Bu benim istediğim değildi, buradan da pek ileriye gidecek gibi durmuyordu ama benim yine de inancım vardı. Belki azimli Türk gençliği bu çalışmayı alacak ve elinden tutarak matematikteki bir gizemi daha aydınlatırken başlangıç noktası bu nafile çabalarım olacaktı. Ya da olmayacaktı, bu vesileyle sadece ben Visual Basic’le makro yazmaya ve python’la program yazıp onunla grafik çizdirebilmeye bir giriş yapmış olacaktım. Olsundu, varsındı, bu da bana yeterdi.
Bonus: Asal sayı hesaplatma makrosu. Hazır VB makroya girişmişken o da aradan çıksın. Bu işle bir ilgileri var gibi bu sayıların ama hayırlısı. O da başka bir kurcalamaya vesile olur belki ileride. Aynı uzantı değiştirip unzipleme uygulamasının yapılması gerekiyor. 1.250.000 e kadarki asal sayılar hazır hesaplanmış durumda içinde.
Not: Collatz probleminin benim için en büyük gizemi kuralın tersten uygulandığında işlememesi. Yani 1 den başlayıp süreci tersine çevirdiğinizde tek bir rotada gidiyorsunuz, ama 1 e ulaşırken herhangi bir sayıdan başlayabiliyorsunuz. (1'den başlayamıyorsunuz aslında. 2-3 basamak geriden diyelim.) Bu da bir kenara yazılmış olsun.