Penrose Döşemelerini Sebepsiz Sevmek

Çakmağı evde unuttum diye sigarayı bırakarak nedensellikte zirve yaptığım hayatımın şu döneminde bir şeye başlamak için illa bir nedene ihtiyacım olmadığını, çok lazımsa da herhangi birşeyi neden gösterebileceğimi farketmenin keyfini yaşıyorum bu aralar. Mesela sigarayı mı bıraktım, o halde blog yazayım diyorum ve yazıyorum. Ne alaka? Yok tabi alakası falan. Hayat yüzünden sadece. Yaptığın planları, dayandığın sebepleri önemsemeyip herhalde hiç bir zaman anlayamayacağım kendi önceliklerini sürekli bize dayatan şu bizim hayat yüzünden işte, bildin mi? O yüzden artık diyorum ki, sebep mi lazım, seç birini. Sen yeter ki o aklına geleni yap, sebebi gelir arkasından.

Şimdi de mesela Penrose döşemelerinden (Penrose Tiles) bahsetmek istiyorum. E sebep? Çünkü bugün Pazar. Oldu mu? Cuk bile oturdu bence.

Roger Penrose'un adını ilk defa Stephen Hawking'in efsane kitabı Zamanın Kısa Tarihi'nde duymuştum. Dahi bir bilimadamıydı ve Hawking'le birlikte tekillik (karadelikler) üzerine çalışmalarda bulunmuştu. Sonra alakasız bir şekilde internette bu döşemelerde ismi karşıma çıkınca araştırmaya başladım ve Penrose döşemeleriyle uğraşırken buldum kendimi.

Önce uzun uzun işin teknik kısmını anlatan bir girizgah yapmıştım fakat tekrar okuyunca baktım olacak gibi değil, iyisi mi ben kısa yoldan bunun neyle ilgili olduğunu anlatayım, siz de gerisini okuyup okumamaya böylece erkenden karar verebilin.

Kısaca; periyodik olmayan döşeme çeşitleri ve onları oluşturabileceğimiz karo setleri çeşitli nedenlerle bilimi epey bir meşgul etmiştir ve Penrose karoları da bu soruya iki karoyla cevap veren dahası, olmadığı düşünülen beşli simetrinin var olabileceğini kanıtlamış olan şekil setine verilen isimdir. 3 türü vardır, en bilineni aşağıdaki gibi gözükür. (Daha kısa ve anlaşılır olamadı, üzgünüm)

Şekilden de görüleceği üzere, bu döşeme 2 farklı karo ile oluşturulmuş ve biraz dikkatli bakınca anlaşılacağı üzere periyodik olmayan bir yapıya sahip.

Peki "periyodik olmayan döşeme ne demektir ve neden bu kadar önemli ki, altı üstü bir şekil değil mi" gibi ipe sapa gelmez sorular sormaya başlayınca işin teknik ve can sıkıcı kısmına girme vakti gelmiş demektir.

Periyodik döşeme hepimizin malumu, bal peteği gibi birbirini tekrarlayan şekillere deniyor. İşin teknik tanımına bakarsak biraz daha can sıkıcı ama yazının ilerleyen kısmında önemli olacağından bahsetmek gerekiyor. Şuradaki tanıma göre bir döşemenin seçeceğimiz bir parçasında döndürmemek şartıyla bir eksende yapacağımız kaydırma işlemi sonrasında elde edeceğimiz şekil orjinali ile bire bir örtüşüyorsa bu işleme translation deniyor. Bir döşemenin periyodik olma şartı ise paralel olmayan iki translation işlemi yapılabilmesidir. Buna göre mesela aşağıdaki örneklerden ilki periyodik iken, ikincisi sadece tek eksende translation yapılabildiği için periyodik değildir.

Periyodik ve Periyodik olmayan iki döşeme

İyi de kardeşim sadede gel, ne işe yarayacak bu bilgiler başlıklı bölüme gelecek olursak; iş, periyodik olmayan döşemelerin en az sayıda elemanla nasıl yapılabileceği kısmında ilginçleşiyor. Penrose kendi setinde altın orandan da yararlanarak bu işi 2 karoyla bitirmiş. Aşağıda Roger Penrose abimiz yarattığı karolarla döşenmiş bir zemin üzerinde görülüyor. Gurur tablosu resmen.

Periyodik olmayan karo setlerinin bulunması geometride olmadığı düşünülen beşli simetri denen sorunsalı çözmekle kalmamış, malzeme biliminde ve kristalografide yeni bir çığır açmıştır falan filan ama açıkçası benim esas ilgimi çeken kısmı mümkün olan en az sayıda şekille periyodik olmayan bir döşeme yaratma fikri.

Penrose'un 2 farklı karoyla hallettiği aperiyodik döşeme oyununun altın kasesi döşemeyi tek bir şekil kullanarak yapabilmek. Anladığım kadarıyla şimdiye kadar bunu yapabilecek bir karo icat edebilen olmamış. Her ne kadar 1996'da Petra Gummelt tek bir parça 10gen ile bunun mümkün olabileceğini göstermişse de, bunun olabilmesi için döşeme deseninde aşağıda görüldüğü üzere üst üste binmeler yapılmasına izin verilmesi gerekiyormuş ki bu kural döşemenin "boşluk kalmayacak ve üst üste binmeyecek" şeklindeki tanımına ters düştüğü için kendisini kaale almıyoruz.

Penrose karoları tasarlarken altın oran'dan (φ) faydalanmış. Altın Oran burada da karşımıza çıkmasa şaşardım. Zaten yakın zamanda bir de altın oran yazısı farz oldu. Neyse biz de bunu duyunca aldık tabi hemen bilgisayarı, başladık oyuna. Durur mu procrastination çocuğu. Sonuçta aşağıdaki altın oran şaheseri çıktı ortaya.

Uzunlukları ardışık olan kenarları arasında hep altın oran bulunan bu şekle altın yamuk adını verdim (Aslında ölçüler epey küsüratlı fakat 2 dijit gösterildiği için yukarıya 1,62 gibi yuvarlanarak gösterilmiş durumda). Altın yamuk tabiri zaten başka bir yamuk çeşidi için kullanılıyorsa kusura bakmasınlar, bence yamuğun bunun kadar altını daha Dünya'ya gelmemiştir. Zira kenar uzunluklarını bu şekilde verip birleştirdikten sonra iç açıların kendiliğinden 36° derecenin katları olduğunu gördüm ve inceden bir eşhedüü demedim dersem yalan olur. Az önce de acaba bu 36°'nin altın oranla bir ilgisi var mı ki acep diye bakınca da 2*cos(72)=1/φ olduğunu görmeyeyim mi, sen aklıma mukayyet ol altın oran dememe kalmadan bir şimşek, bir fırtına kop, zor geldim kendime. Neyse fazla cıvımadan konuya dönelim.

Daha sonra bu şekli kullanarak döşeme yapmaya başladığımda gördüm ki tek karoyla döşeme yapmak hiç de Penrose'un 2 karoyla yaptığı döşemelere benzemiyor. Başta gayet iyi giderken şekil giderek monoton bir döngüye girmeye başlıyor. Bunlara 2 örnek aşağıda görüleblilir.

Bu döşemelerde karonun 36° ve 72°'lik köşeleri merkeze konarak sırayla 10'lu ve 5'li simetri şeklinde boşluklar doldurularak devam edilmiştir. şekillere bakınca anlaşılacağı üzere eğer bu döşemeyi yeterince büyütür ve merkezden yeteri kadar uzaklaşırsak karşımıza çıkacak şekil aşağıdaki döşemenin farklı açılarda döndürülmüş hali olacaktır.

Çok tekdüze gözüküyor değil mi? İşin sadece bu kısmına bakarsak öyle gözüküyor fakat farklı açılarda büyüyen düzlemlerin kesişme noktalarına bakarsak şu gözüküyor:

Daire ile işaretli kısımlar bahsettiğim farklı düzlemlerdeki kesişim noktaları. Altın oran yüzünden bu kesişim her seferinde farklı bir noktada oluyor ve yine altın oran yüzünden iki farklı düzlemdeki noktalar çok çok ilerilerde bir yerde muhtemelen altın oranın okek i ile ilgili bir noktada birleşecekler ve başlangıç şeklimiz tekrar ortaya çıkacak. İşin güzel tarafı bir üstteki monoton şekle baktığınızda hayal etmenizin zor olduğu başlangıç şeklinin ileride bir yerde bu monotonluğun arasında tekrar oluşabilecek olması çok hoş bence. İşin tuhaf tarafı bu bana hayatla ilgili de bir sürü çağrışımda bulunuyor ki o ayrı bir yazı konusu bile olabilir.

Sonuçta her ne kadar Penrose döşemeleri kadar güzel bir döşeme şekli ortaya çıkarmasa da bu oluşan döşeme sanıyorum aperiyodik sınıfına giriyordur, bu durumda problem çözüldü diyebilir miyiz? Bilemedim, karar sizin.